ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.
ВВЕДЕНИЕ
Комплекс К-402.1 представляет собой необходимый перечень лабораторных работ, предусмотренных образовательным стандартом и рабочей программой по разделу «Динамика твердого тела» дисциплины «Физика». Он включает в себя описание лабораторных установок, порядок измерений и алгоритм расчета определенных физических величин.
Если знакомство с конкретной работой студент начинает в аудитории во время занятии, то двух часов, отводимых на выполнение одной лабораторной работы, ему не хватит и начнется отставание от семестрового графика выполнения работ. Для исключения этого образовательным стандартом второго поколения 50 % от объема часов, отводимых на изучение дисциплины, приходится на самостоятельную работу, которая является необходимым компонентом процесса обучения. Целью самостоятельной работы является закрепление и углубление знаний и навыков, подготовка к лекциям, практическим и лабораторным занятиям, а также формирование у студентов самостоятельности в приобретении новых знаний и умений.
Учебными планами для различных специальностей предусмотрено на самостоятельное изучение дисциплины «Физика» в течение семестра от 60 до 120 часов. Из них на лабораторные занятия приходится 20–40 часов, или 2–4 часа на одну работу. В течение этого времени студент должен: прочитать соответствующие параграфы в учебниках; выучить основные формулы и законы; познакомиться с установкой и порядком измерений. Для допуска к выполнению работы на установке студент должен знать устройство установки, уметь определять цену деления измерительного прибора, знать последовательность измерений, уметь обрабатывать результаты измерений, оценивать погрешность.
После всех расчетов и оформления отчета студент должен сделать вывод, в котором конкретно указать те физические закономерности, которые были проверены в ходе выполнения работы.
Различают два вида измерений: прямые и косвенные.
Прямыми называются такие измерения, при которых производится сопоставление меры и объекта. Например, измеряют высоту и диаметр цилиндра с помощью штангенциркуля.
При косвенных измерениях физическая величина определяется на основании формулы, устанавливающей ее связь с величинами, найденными прямыми измерениями.
Измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат всегда содержит некоторую погрешность.
Погрешности измерений принято подразделять на систематические и случайные.
Систематические погрешности обусловлены факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений.
Вклад в систематические погрешности вносит инструментальная или приборная погрешность , которая определяется чувствительностью прибора. При отсутствии таких данных на приборе за приборную погрешность принимают цену или половину цены наименьшего деления шкалы прибора.
Случайные погрешности вызваны одновременным действием многих факторов, которые невозможно учесть. Большинству измерений сопутствуют случайные погрешности, отличающиеся тем, что при каждом повторном измерении они принимают другое, заранее не предсказуемое значение.
Абсолютная погрешность будет включать в себя систематическую и случайную погрешности:
. (1.1)
Истинное значение измеряемой величины окажется в интервале:
который называют доверительным интервалом.
Для определения случайной погрешности вначале рассчитывают среднее из всех величин , полученных при измерении:
, (1.2)
где – результат i -го измерения, – число измерений.
Затем, находят погрешности отдельных измерений
, 
, …, 
.
. (1.3)
При обработке результатов измерений пользуются распределением Стьюдента. С учетом коэффициента Стьюдента случайная погрешность
.
Таблица 1.1
Таблица коэффициентов Стьюдента
| n | |||||
| 0,6 | 0,7 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | |
| 1,36 | 2,0 | 6,3 | 12,7 | 636,6 | |
| 1,06 | 1,3 | 2,9 | 4,3 | 31,6 | |
| 0,98 | 1,3 | 2,4 | 3,2 | 12,9 | |
| 0,94 | 1,2 | 2,1 | 2,8 | 8,7 | |
| … | … | … | … | … | … |
| 0,85 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 3,5 | |
| 0,84 | 1,0 | 1,7 | 2,0 | 3,4 |
Коэффициент Стьюдента показывает отклонение среднего арифметического от истинного значения , выраженного в долях от средней квадратичной погрешности . Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений n и от надежности и указан в табл. 1.1.
Абсолютная погрешность рассчитывается по формуле
.
В большинстве случаев более существенную роль играет не абсолютная , а относительная погрешность
Или 
. (1.4)
Все результаты расчетов заносят в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Результата расчета погрешности измерений
| № п/п |  | ||||||||||
| мм | мм | мм | мм 2 | мм 2 | мм | мм | мм | мм | мм | % | |
Расчет погрешностей косвенных измерений
Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:
Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.
Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:
Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.
После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции 
с помощью дифференциала.
Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.
Вычислим абсолютную погрешность
:
Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.
Ответ
: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 4
в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.
Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:
Пример 5
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке
Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:
Пример 6
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.
Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.
Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу
Записываем очевидную функцию
Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.
Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:
Таким образом
: 
После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!
В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: 
(формулы можно найти в той же таблице).
Дальнейшее шаблонно:
Таким образом
: 
(при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
Ответ:
Пример 7
Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.
Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .
Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.
Пример 8
Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .
А вот и рабочая формула:
Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !
По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .
Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели
:
,
Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,
И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть - надо его съесть.
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал функции в точке найдём по формуле:
Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .
Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :
Вычислим точное значение функции в точке :
Вот это значение является абсолютно точным.
Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:
Пример 9
Вычислить приближенное значение функции 
в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: .
Общая закономерность таков а - чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.
Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).
Пример 10
Решение:
Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:
Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: 
. Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .
Вычислим значение функции в точке :
Дифференциал в точке найдем по формуле:
Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .
Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
;
.
Полный дифференциал в точке :
Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527
Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: , 
Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.
Пример 11
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий - это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:
Пример 12
С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если 
Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.
Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.
Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!
Пример 2 :
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом: 
Ответ:
Пример 4:
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: 
, ,
Таким образом:
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ:
, абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
Пример 5:
Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,
Таким образом
:
Ответ:
Пример 7:
Решение:
Используем формулу:
В данном случае: , , 
Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.
Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:
Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:
.
Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:
(2)
называется средней абсолютной погрешностью .
Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:
.
(3)
Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).
Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).
Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:
Например:
и
,
где U max и I max – предел измерения прибора.
Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.
После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.
Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).
Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:
X = f(a ,b ,c …).
Одним
из способов вычисления погрешности
является способ дифференцирования
натурального логарифма функции Х =
f(a
,
b
,
c
…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c
+
d
).
Дифференциал этого выражения имеет вид:
.
Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:
=
.
(4)
Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:
Х = Х(5)
Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:
1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.
2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.
3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:
X = f(a ,b ,c …).
4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).
5)
Рассчитывают относительную погрешность
=
.
6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).
7) Окончательный результат записывают в виде:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:
|
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a + b |
a+ b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a+ b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть измеряемая имеет известное значение величина X
.
Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x
1
,
x
2
,…
xn
заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X
.
Тогда величина
Однако при малых объемах выборки вместо Для четных n, значение Ме
равно полусумме значений двух средних результатов. Например, Для расчета s
пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком. Величина Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t )
Пример 1.
Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68. По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t =2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn. Пример 2.
Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности. Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s . Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:
Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:
со степенями свободыf = n – m , где n – общее число определений, n = m . n j . Пример 2.
Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с различным содержанием его. Значения анализа, % Mn: Значения квадратов разностей s = 0,014 % (абс. при f =15 степеням свободы). Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят значения х" и х" , для образцов уравнение преобразуется в выражение. Систематические погрешности . Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые визмерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указаних класс точности. Класс точности прибора – это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы ). Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением:
Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4. Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т.е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу. Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами: · Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса. · Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления. · Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда. · Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления. Случайные погрешности . Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии Скворцовой И.Л. «Ошибки измерений физических величин»). Как же оценить истинное значение измеряемой величины? Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: 1). Вычисляетсясреднее арифметическое серии из N прямых измерений: 2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения – это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:
3). Вычисляетсясредняя квадратичная абсолютная погрешность :
4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность . При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента:
Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности (в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности ). Коэффициент надежности – это вероятность, с которой истинноезначение измеряемой величины попадает в доверительный интервал. Доверительный интервал
Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата. Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1. Таблица 1 5).Вычисляетсяполная абсолютная погрешность. При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы. Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности
Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она болеечем на порядок (в 10 раз) меньше другой. 6). Округляется погрешность и результат . Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности. Округление начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений (например, астрономических), в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру. Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры взначении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности . Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. 7). Вычисляется относительная погрешность . При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры. результат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде: Здесь – полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и – округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины. Рассмотрим несколько примеров: 1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: см и см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т.е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности Статьи по теме:
Крутые изобретения на благо экологии, которые мы увидим в ближайшем будущем
Как написать сочинение "Спорт в моей жизни?
Город в гармонии с природой
Решебники и готовые домашние задания (ГДЗ): как ими пользоваться?
Строение головного мозга у рыб
Новое:
Популярное:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм.
.
.
,
– это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.
.
см. Вычисляем относительную погрешность
