После изучения теоретической части теорем и тригонометрии, можно перейти к решению треугольников. Под решением треугольников подразумевают нахождение всех трех сторон и всех углов этой геометрической фигуры. Были рассмотрены такие теоремы, как теорема Пифагора, обобщенная теорема данной теоремы, теорема синуса. В прямоугольных треугольниках рассматривалось нахождение синуса и косинуса углов, исходя из данных катетов и гипотенузы.
Первая задача, которая будет продемонстрирована вначале презентации, относится к решению треугольника по известным двум сторонам и углу между ними. Мы видим чертеж треугольника ABC, стороны, лежащие напротив углов A, B, С, обозначены, соответственно a, b, c. При рассматривании задач так будет намного удобнее. Далее, справа видим сокращенную запись условия задачи. С такой формой записи ученики уже сталкивались неоднократно. Согласно теореме косинусов, квадрат некоторой стороны равен разнице суммы квадратов остальных двух сторон и произведению этих сторон на косинус угла между ними. Для того, чтобы найти искомую сторону, необходимо вычислить квадратный корень от правой части. Оставшиеся два неизвестных угла можно найти исходя из того, что мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.
После того, как ученики рассмотрели этот слайд, учитель или репетитор может предложить им решить практический пример уже с числами. Подобные задачи очень часто встречаются в учебниках, так что можно просмотреть и их.
Перейдем к следующему слайду. Здесь будут продемонстрированы задачи, в которых рассматриваются треугольник, у которого известна некоторая сторона и два прилежащих к ней угла. Следует найти неизвестный угол и две оставшихся сторон. Дана сторона CA = a, и два прилежащий к ней угла, C и B. Найти неизвестный угол С очень просто, ведь знаем сумму всех углов треугольника. Неизвестные же стороны вычисляются по теореме синусов. Ученики могут вернуться к своим прежним записям и вспомнить их. Или же, могут просмотреть презентацию, в которой эта теорема рассматривалась.
На этом же слайде рассматривается другая ситуация. Здесь даны три стороны треугольника ABC. Следовательно, необходимо найти тру угла. Решается данная задача, используя знания о косинусах, можно найти две стороны. Чтобы упростить задачу, третью сторону можно найти, вычитая оставшиеся две стороны из 180 градусов.
Третий слайд расскажет о решении интересно проиллюстрированной задачи. Мы видим ворота и футболиста. Футболист изображен у вершины, а ворота - это противолежащая сторона. Известны все три стороны треугольника. Необходимо найти неизвестный угол треугольника. Если футболист направит мяч в этом диапазоне, то он попадет в рамки ворот. Использует, которые даны по условию задачи.
Если школьники поймут эти методы решения треугольников, то они смогут легко выполнить домашнее задание по данной теме. Также, у них не возникнут проблемы при выполнении контрольных и самостоятельных работ. Тема не является сложной, однако довольно объемная и включает в себя много формул, понятий и теорем.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Решение треугольников Урок №28
Самостоятельная работа Вариант 1 1. Вариант 2 1. 45 º 120 º х 8 60 º 3 х 5 2. х х 45 º 6 135 º 30 º 14 2. 3. Определите вид треугольника со сторонами 3; 5; 7 4; 5; 6 Найти Х
Определение Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам. А В С c b a
Для этого вспомним Решение данных задач основано на использовании теорем синусов и косинусов, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
А В С Сумма углов треугольника Сумма углов треугольника равна 180 º
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Теорема синусов А В С c b a
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Теорема косинусов А В С c b a
Три задачи на решение треугольника
Решение 2) Если γ- тупой угол, значит α и β острые углы Если γ –острый угол, то сравниваем а и b , выбираем меньшую и находим меньший угол (он точно острый) Допустим это α 3) β =180º- (α + β) Задача имеет одно решение
Решаем задачу 1 С В А Решить треугольник АВС, если a = 6,3 см, b=6,3 см, C = 54º. Дано: АВС, a = 6,3 см, b=6,3 см, C = 54º. Найти: А, В, c . Ответ
Решение: γ = 180º - (α+β), α+β
С В А Решаем задачу 2 Решить треугольник АВС, если А=60 º В=40 º , с =14см. Дано: АВС, А=60 º, В=40 º , с=14см. Найти: a , b, С. Ответ
Решение Пусть а – наибольшая сторона треугольника, Задача имеет одно решение
Дано: a = 6 см, b=7,7 см, c=4,8 см. Найти: А, B, C . Ответ Решаем задачу 3 Решить треугольник АВС, если a = 6 см, b=7,7 см, c=4,8 см. C А В
IV тип задач по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них Дано: ∆ АВС а, в, α Найти: с, γ , β а в α
Решение 1. Если в намного больше а, то sinβ > 1 и задача не имеет решений. 2. Если sin β =1, то β =90º, γ =90º- α , с = в cos α в этом случае задача имеет единственное решение
Таблица – памятка Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам Решение треугольника по трем сторонам А С a b В А С γ a β В А С c a b В γ
Ответ к примеру 1 А= 63 º B = 63 º c ≈ 5,7 см
Ответ к примеру 2 C = 80 º a ≈ 12,3 см b ≈ 9,1 см
Ответ к примеру 3 А= 54 º 52 ´ B = 84 º16´ C = 40 º52´
Найди ошибку
ПРЕЗЕНТАЦИЯ ПО МУЗЫКЕ 5 КЛАСС "ИЛЛЮСТРАЦИИ К УРОКАМ В 5 КЛАССЕ"
Данная презентация содержит материал к урокам музыки в 5 классе по программе Д.Б. Кабалевского.Тема:"Музыка и изобразительное искусство".......
Презентация к уроку 10 класса (базового) по химии 10 класс Тема"Каменный уголь. Фенол"
Презентация к уроку химии 10 (базовый) по теме "Каменный уголь.Фенол" Дается строение фенола, его свойства....
Презентация (викторина 5-6 классы) " Здоровье и спорт во Франции", 7-9 классы " Спорт во Франции"
Материал можно использовать на уроках в рамках темы " Спорт" или " Здоровый образ жизни" , а также как внеклассное мероприятие для 5-6 и 7-9 классов...
Цель урока: углубить и расширить понятие о классе млекопитающих, показать их многообразие, особенности строения, выделить особенности отряда Приматы. Урок обобщает, закрепляет и расширяет знания...
Решение треугольников
Геометрия
9 класс
Ковалевская Ольга Николаевна
«Успех в
учебе –
завтрашний
успех в жизни!»
Условные обозначения и основные теоретические сведения
- стороны треугольника
- противолежащие им углы
Теорема косинусов : Квадрат любой стороны
треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус
угла между ними.
Теорема синусов: Стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих
углов
Теорема о сумме углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180 0
* для любого острого угла выполняются равенства ;
** для любого угла выполняются равенства
F
Запишите для данного
треугольника теорему синусов
и теорему косинусов для
каждой стороны
D
С
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс.
Типы задач
1. Решение треугольников по стороне и двум углам.
2. Решение треугольников по двум сторонам и углу между ними.
3. Решение треугольников по трём сторонам.
4. Решение треугольников по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них.
Математический диктант
1.
Найти: АВ.
А
5
4
30º
С
В
2.
Найти: ВС.
В
6
120º
С
А
6
3.
Найти: АВ.
В
60º
75º
С
4
А
4.
Найти: ∟А
А
4
2
С
В
5.
А
Найти: ∟В
135º
2
С
В
Ответы:
Критерии оценок
Самостоятельная работа в группах с тестом:
решите самостоятельно задачи, выполняя проверочный тест на компьютере в программе Excel.
Что было легко?
Что было трудно?
Что понравилось?
Что не понравилось?
Какую отметку вы бы себе поставили за работу?
«Ш е с т ь ш л я п м ы ш л е н и я»
Чтобы взглянуть на мир с другой стороны, смените шляпу – ключевая идея метода де Боно.
Меняйте шляпы, дорогие дети и коллеги)))
Спасибо
за урок!
кгу сош №30
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 4 Тест на определение истинности (ложности) утверждения 1. В треугольнике против угла в 150º лежит большая сторона. 2. В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60º. 3. Существует треугольник со сторонами 2 см, 7 см, 3 см. 4. Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. 5. Сумма длин двух других сторон любого треугольника меньше третьей стороны. 6. Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60º, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. 7. Существует треугольник с двумя тупыми углами. 8. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º. И И Л И Л И Л И
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 7 Для этого вспомним Решение данных задач основано на использовании теорем синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Соотношения между сторонами и углами в треугольнике 1. С Сумма углов треугольника. 2. Т Теорема синусов. 3. Т Теорема косинусов.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 11 Три задачи на решение треугольника Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника: решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; решение треугольника по трем сторонам.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 14 Задача 1. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними 2.По теореме косинусов находимтеореме косинусов 3.Угол А находим с помощью таблицы Брадиса А В С c b a 1.Применим теорему косинусовтеорему косинусов 4.Запишем ответ
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 28 Задание на дом Изучить материалы пунктов 96 – 99, решить любые 3 задачи, вычислив неизвестные элементы треугольника АВС: аbcABC ° ° 3 2,41,3 28° ° 45° ° °25° °48° °
Слайд 2
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 2 Часто знает и дошкольник, Что такое треугольник, А уж вам-то, как не знать… Но совсем другое дело – Очень быстро и умело Треугольники считать!
Слайд 3
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 3 Определите своё эмоциональное состояние в начале. Поставьте галочку в клетку, соответствующую настроению
Слайд 4
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 4 В треугольнике против угла в 150º лежит большая сторона. В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60º. Существует треугольник со сторонами 2 см, 7 см, 3 см. Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. Сумма длин двух других сторон любого треугольника меньше третьей стороны. Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60º, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. Существует треугольник с двумя тупыми углами. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º. И И Л И Л И Л И
Слайд 5
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 5 Что это значит? Для этого вспомним… Как это делать? Примеры задач. Реши сам.
Слайд 6
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 6 Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам. А В С c b a
Слайд 7
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 7 Решение данных задач основано на использовании теорем синуса и косинуса, теоремы о сумме углов треугольника и следствии из теоремы синусов: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол. Причем, при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Соотношения между сторонами и углами в треугольнике Сумма углов треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов.
Слайд 8
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 8 А В С Сумма углов треугольника равна 180º
Слайд 9
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 9 Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов А В С c b a
Слайд 10
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 10 Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. А В С c b a
Слайд 11
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 11 Рассмотрим 3 задачи на решение треугольника: решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; решение треугольника по трем сторонам.
Слайд 12
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 12 При решении треугольников будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника ABC:АВ = с, ВС =а, СА=b. А В С c b a
Слайд 13
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 13 Дано: АВС, а, b, C Найти: с, А, В. А С c b a В
Слайд 14
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 14 2. По теореме косинусов находим 3. Угол А находим с помощью таблицы Брадиса А В С c b a 1. Применим теоремукосинусов 4. Запишем ответ
Слайд 15
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 15 А В С c b a Дано: АВС, а, В, С Найти: b, c, A
Слайд 16
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 16 А В С c b a 2. С помощью теоремы синусов: 1. Найдём неизвестный угол 3. Запишем ответ
Слайд 17
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 17 Дано: АВС, a, b, c Найти: А, В, С. А В С c b a
Слайд 18
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 18 2. Значения углов А и В находим с помощью таблицы Брадиса. А В С c b a 1. По теоремекосинусов найдём 3. Находим оставшийся угол 4. Запишем ответ
Слайд 19
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 19 А С a b В А С γ a β В А С c a b В γ
Слайд 20
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 20 С В А Дано: АВС, А=60º, В=40º, с=14см. Найти: a, b, С. Ответ Решить треугольник АВС, если А=60ºВ=40º, с=14см.
Слайд 21
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 21 С В А Дано: АВС, a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º. Найти: А,В, c. Ответ Решить треугольник АВС, если a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
Слайд 22
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 22 Дано: a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см. Найти: А,B,C. Ответ Решить треугольник АВС, если a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см. C А В
Слайд 23
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 23 C=80º a≈12,3 см b≈9,1 см
