Правила дифференцирования ТЕОРЕМА 1. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Если функции f и g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, f g, f /g (если g(x) 0) и при этом Пусть у = f g. 1) (f(х) + g(х))" = f "(х) + g "(х); 2) (f(х) g(х))" = f "(х)g(x) + f(x)g "(х); Доказательство. Приведем доказательство свойства 2. f = f (х + х) – f(x) f (х + х) = f(x) + f ; g = g (х + х) – g(x) g(х + х)= g(x)+ g. g "(х) f "(х) 0 при х 0 (В силу непр. диф-мой функции.)
ТЕОРЕМА 2. Дифференцирование сложной функции Пусть функция у = f(u) дифференцируема в точке u 0, у 0 = f(u 0), а функция u = (x) дифференцируема в точке x 0, u 0 = (x 0). Тогда сложная функция у = f ((x)) дифференцируема в точке x 0 и f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) или ЗАМЕЧАНИЕ. Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например: (f ((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(x). Следствие. Если f (х) дифференцируема в точке х и С = const, то (С f(x))" = С f "(x); (f(x)/С)" = f "(x)/С.
Пример 1. y = cosx, х R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, х /2 + k, k Z. Используя теоремы 1 и 2, найдем производные тригонометрических функций y = ctgx, х + k, k Z.
ТЕОРЕМА 3. Дифференцирование обратной функции. Если у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке и имеет производную f "(x 0), тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у 0 = f(x 0), причем g "(y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + у0у0 x y x у у = f(x) x = g(y) Пусть у таково, что у 0 + у (,). Обозначим х = g(y 0 + у) – g(y 0). Нужно доказать, что существует 0 Доказательство. Пусть f(x) строго возрастает на .Пусть = f(x 0 -), = f(x 0 +). Тогда на [, ] определена обратная функция x = g(y), непрерывная и строго возрастающая, причем f(x 0) (,). Если у 0, то и х 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому имеем право записать тождество Если у, то и х, так как x = g(y) непрерывна в точке у 0.
Пример 2. Найдем производные обратных тригонометрических функций
0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " class="link_thumb"> 8 Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12)"> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 ">
Производная n-ого порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) определена в U (x 0) и имеет производную f (x) в каждой точке этого интервала. Если в точке х 0 существует производная от f (x), то она называется второй производной от функции f(x) в этой точке и обозначается Аналогично определяется производная f (n) (x) любого порядка n =1, 2, … Если в U (x 0) существует f (n-1) (x) (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция), то n = 1, 2, 3, …. Функцию, имеющую в каждой точке множества Х производные до n-ого порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве Х.
Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. Тогда функция Аf(x) + Вg(x), где А и В постоянные, также имеет производную в точке х, причем (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) (x) + Вg (n) (x). При вычислении производных любого порядка часто используют следующие основные формулы. y = x ; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 … В частности, если = m N, то y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y =a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, … В частности (е x) (n) = е х. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3,y """ = (x + a) - 4, …
Y = ln(x+а); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+а) –n. y = (x +а) –1, y = – (x +а) –2, y = 2(x +а) –3, y (4) = – 2·3(x +а) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· /2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2· /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...
N-ая производная произведения двух функций (формула Лейбница) где Эта формула называется формулой Лейбница. Она может быть записана в виде где Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. По индукции можно доказать, что (f(x) g(x)) (n) = ?
Пример 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Применим формулу Лейбница, положив в ней f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Тогда
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Производные элементарных функций. Урок обобщающего повторения 11 класс Круглова А.Н., учитель математики ГБОУ СОШ № 186
Цели урока 1. Обобщить и закрепить понятие производной. 2. Повторить понятие предела функции и ее непрерывности, понятие производной. 3. Повторить правила дифференцирования, производные степенной и некоторых элементарных функций. 4. Применить данные знания при дифференцировании. 5. Реализация индивидуального режима работы.
Историческая справка. Термин « функция » впервые был употреблен в 1692 г. немецким математиком Г.Лейбницем. В 1748 г. Л.Эйлер определение функции и ввел символ f(x). В 1834 г. Н.И.Лобачевский дал определение функции на основе идеи соответствия двух числовых множеств. В 1837 г. немецкий математик П.Дирихле сформулировал обобщенное понятие функции: «у является функцией переменной х на отрезке , если каждому значению х соответствует определенное значение у, причем не важно, каким образом установлено это соответствие – формулой, графиком, таблицей или словесным описанием». Первое определение предела дал английский математик Д.Валлис (1616-1703). Метод пределов получил свое развитие в работах английского ученого И.Ньютона (1643-1727), он же ввел символ lim. Существенный вклад в развитие дифференциального исчисления внесли французские ученые П.Ферма (1601-1665) и Р.Декарт (1596-1650). Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи механики, связанные с нахождением мгновенной скорости. Термин «производная» ввел в 1800 г. французский математик Л.Арбогаста (1759-1803). Обозначение производной y’ и f(x)’ ввел французский математик Ж.Лагранж (1736-1813). Существенным приближением теории дифференциального исчисления к ее современному изложению стали работы французского математика О.Коши (1789-1857).
Предел функции. Построить графики функций 1) у = х + 1 2) х ² - 1 х – 1 при х 1 у = 3 при х = 1 3) у = (х ² - 1) : (х – 1) Ответить на вопросы а) Чем являются графики функций? Прямыми б) Через какие точки на осях координат проходят графики? (0;1) и (-1;0) в) Чем отличаются графики? Второй и третий графики с «выколотой» точкой (1 ; 2) , но на втором графике при х = 1 значение функции равно 3.
Графики функций. у у у х х х 1 2 3
Вывод Общее свойство функций при значениях х, близких к 1 ? Значения каждой из функций мало отличается от 2. Следовательно, каждая из этих функций имеет в точке х = 1 предел, равный 2. Как это записать? Однако для первой функции lim y(x) = y(1) = 2 Для второй функции lim y(x) ≠ y(1) , для третьей функции у(1) не существует. Первую функцию называют непрерывной, а вторую и третью функции – разрывными в точке х = 1. lim y(x) = 2 x 1
Определение производной Производной функции f(x) в точке х 0 называется предел разностного отношения f(x 0 + h) – f(x 0) h при h → 0: ƒ‘(x 0) = lim Операция нахождения производной называется дифференцированием. 0 h
Производная степенной и некоторых элементарных функций. (Найти в правой части продолжение формул) (х ⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ‘ = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)’ = 1 2 3 4 5 6 4. (sin x)‘ = 1 2 3 4 5 6 (cos x)’ = 1 2 3 4 5 6 Продолжим = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹
Решить примеры 1) (x ³)’ = 2) (2 x)’ = 3) ()’ = 4) (lnx)’ = 5) (-4 lnx)’ = 6) (3)’ = 7) (5 cosx)’ = 8) (0.3 sinx)’ = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0.3 cosx
Правила дифференцирования. Производная суммы (f(x) + g(x))’ = = f’(x) – g’(x) = f’(x) + g’(x) = f’(x) * g’(x) Постоянный множитель (cf(x))’ = = c + f’(x) = f’(x) – c = cf’(x) Производная произведения (f(x) ·g(x))’ = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) = f’(x) ·g’(x) = f’(x) ·g(x) Производная частного (f(x)/g(x))’ = f’(x)/g’(x) = (f’(x) ·g(x) - f(x)·g’(x)) / g²(x) = f’(x) ·g(x) – f(x)·g’(x) Продолжим урок.
Цели урока:
Оборудование: компьютеры, интерактивная доска.
– Стали все ровненько, все готовы к уроку. Здравствуйте ребята. Садитесь на место.
II. Актуализация знаний
Презентация «Производная некоторых элементарных функций» (Приложение 1 )
На экране слайд 1
– Посмотрите ребята на слайд. Что вы здесь видите?
– Функции.
– степенная, тригонометрическая, логарифмическая и показательная (названия функций появляются по щелчку)
– Как можно назвать эти функции одним словом?
– элементарные.
– Хорошо. Какой раздел алгебры мы с вами сейчас изучаем? (слайд 2)
– «Производная и ее применение».
– Что мы уже умеем?
– Находить производную степенной функции, использовать правила дифференцирования, находить мгновенную скорость.
– Посмотрите на слайд и определитель что мы еще не знаем? (слайд 3)
– Мы не знаем, как находить производные остальных элементарных функций.
– Значит тема нашего урока как будет звучать?
– Производные некоторых элементарных функций.
– Определите каждый для себя цель урока и попытайтесь сформулировать ее..
– Познакомиться с формулами нахождения производных некоторых элементарных функций и учиться их применять.
– Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока.
– Сегодня вы будете работать с листами самооценки, они лежат перед вами, на каждом этапе урока оцените свою работу и оценку поставьте в лист самооценки (Приложение 2 ).
– Для того чтобы успешно прошло усвоение темы урока, выполним упражнения на повторение. Прошу вас сесть за компьютеры, открыть программу MyTest, получите тест по сети и выполните его.
(Программу MyTest можно скачать из Интернета, она свободно распространяемая, удобно ее использовать потому, что вы сами можете создать любой тест, по окончанию выполнения ученик автоматически получает оценку и на компьютер учителя приходит результат каждого ученика, эти результаты дети видят все)
Тест.
Вписать правильный ответ.
Вариант 1.
Вариант 2.
– Хорошо. По результатам теста видно и, я думаю, вы осознаете, что вообще-то нам есть еще над, чем работать.
– Итак, ребята мы с вами сказали, что сегодня мы познакомимся с формулами нахождения производных некоторых элементарных функций. Перед вами лежат листы с заданиями (Приложение 3 ), предлагаю вам исследовать данные задания и попытаться самостоятельно определить формулы нахождения производных некоторых элементарных функций. Работу предлагаю выполнить в парах.
– Итак ребята, я вижу вы уже справились, давайте анализировать и делать выводы.
Предполагаемый ответ детей:
Определите производную функции y = sin x.
Задание 1
Найдите производную функции
Решение:
(x) = cosx +6 x + 6
Задание 2
Найдите производную функции
Решение:
Вывод: (sinx)’ =___________________ |
– Проанализировав данное задание и его решение можно сказать следующее: мы уже умеем находить производную степенной функции и видим, что производная от 3x 2 равна 6х, производная от 6х равна 6, производная от константы равна 0, значит можно сделать вывод, что производная от sinx равна cosx. Аналогично этот вывод мы можем сделать проанализировав Задание 2.
Ребята анализируют, используя интерактивную доску, подчеркивают на слайде нужную информацию. В процессе ответов учитель вносит коррективы, если они необходимы. Аналогичная работа по каждому заданию. (Слайд 5–12).
– Молодцы, ребята. Вы сами определили формулы для нахождения производных некоторых элементарных функций. В рабочие тетради запишите все эти формулы, попытайтесь на память, а если не получается, то смотрите на слайд (слайд 13).
– Итак, мы уже знаем формулы нахождения производных некоторых элементарных функций, давайте учиться их применять при выполнении упражнений. И это я предлагаю вам сделать с помощью тестов ЦОР, самостоятельно. Путь к тесту на доске.
Тема: «15. Правила вычисления производных».
Учащиеся выполняют задание по следующему пути: Правила вычисления производной/Контроль/Задание 6, Задание 7.
В результате выполнения задания учащиеся автоматически получаю оценку, они могут вернуться к тем заданиям, которые они выполнили неправильно, разобраться в чем ошибка и исправить ее.
– Поставьте себе итоговую оценку в листок самооценки.
– Возникли ли у вас какие-то проблемы при решении упражнений?
– Да. Как найти производную функции y = tgx? Мы сегодня эту формулу не изучали, а задании был такой пример.
– Хорошо. А, что такое tgx?
– Это отношение sinx к cosx.
– Формулу нахождения производной sinx знаем? (Да). Производную cosx? Так, вот дома выведите сами формулу нахождения производной функции y = tgx.
Выставление оценок за работу на уроке. Сравнить с самооценкой.
§ 5, № 53, 54, инд. задание.
И еще ребята остался у нас с вами один вопрос. Помните, вы мне задали вопрос: Зачем мы изучаем эту тему? Всем было понятно, что задания, где используется производная, есть в тестах ЕГЭ, а еще где применяется производная? И я вам предложила самостоятельно найти ответ на этот вопрос. Вы готовы сегодня на него ответить? Выслушать выступления учащихся.
Класс, в котором проводился урок – 11 класс. Уровень знаний учащихся средний. Только одна ученица Орехова Наталья можно сказать «сильная», девочка собирается поступать в РИНХ на факультет Финансы и кредит, остальные занимаются посредственно.
Тип урока – изучение нового материала. На уроке использовала различные формы и методы, технологии деятельстного подхода. На протяжении урока была выстроена мотивация. При актуализации знаний, с помощью того, что мы уже знаем и чего еще не знаем, ребята определили сами тему урока и каждый из них определил для себя цель урока. С целью повторения и проверки домашнего задания, я использовала программу MyTest. Тесты составляла сама, и в заданиях необходимо было вписать правильный ответ.
При изучении нового материала, ребята работали в парах, путем анализа и синтеза были определены формулы нахождения производных некоторых элементарных функций.
На этапе закрепления использовала ЦОР, тест с выбором ответа. Считаю, что на начальном этапе изучения этой темы целесообразно использовать тесты именно с выбором ответа, в дальнейшем мы будем учиться применять формулы и для других заданий.
Проводилась рефлексия, использую в работе листы с самооценкой, оценки за урок были выставлены и прокомментированы. Домашнее задание, заданно дифференцированно и некоторые ученики получили индивидуальное задание.
Пытаемся определять цель изучения этой темы в жизни.
ПРОИЗВОДНАЯ
МОУ Среднесантимирская СОШ
Выполнена учителем математики
Сингатулловой Г.Ш.
Определение производной
Пусть на некотором интервале (a, b) определена функция y= f(x). Возьмем любую точку x 0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x 0 произвольное приращение ∆ x такое, что точка x 0 + ∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение
Производной функции y= f(x) в точке x =x 0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x , при стремлении приращения аргумента к нулю.
Геометрический смысл производной
Пусть функция y= f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
Где - угол наклона касательной функции f(x) в точке (x 0 , f(x 0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы
Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t 0 .
К моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = s(t 0), а к моменту (t 0 + ∆t) – путь s 0 + ∆s=s(t 0 +∆t).
Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет
Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t 0 . Поэтому под скоростью точки в момент t 0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t 0 до t 0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.
2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения
Скорость химической реакции в данный момент
времени t.
3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА
Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением
а мгновенная скорость распада в момент времени t
АЛГОРИТМ вычисления производной
Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме:
1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).
2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).
3. Составляем отношение
4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.
(если этот предел существует).
Основные правила дифференцирования
Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x.
1) (u v) = u v
2) (uv) = u v +uv
(cu) = cu
3) , если v 0
Производная сложной функции
Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, а функция
дифференцируема в соответствующей точке, то сложная функция дифференцируема в точке x, причем:
т.е. производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.
Задача 1.
Задача 2 .
Задача 3 .
Задача 4 .
Задача 5 .
Задача 6 .
Задача 7 .
Задача 8 .
Cлайд 1
Производная функции Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцированиеCлайд 2
Определение производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение: х f(x) x+Δx f(x+ Δx) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:
Cлайд 3
Определение производной Итак, по определению: Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.
Cлайд 4
Геометрический смысл производной Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1: х f(x) x+Δx М М1 f(x+ Δx) Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
Cлайд 5
Геометрический смысл производной Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты (x0; y0), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали
Cлайд 6
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.
Cлайд 7
Производные основных элементарных функций 1 Формула бинома Ньютона: Степенная функция: K – факториал
Cлайд 8
Производные основных элементарных функций По формуле бинома Ньютона имеем: Тогда:
Cлайд 9
Производные основных элементарных функций 2 Логарифмическая функция: Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.
Cлайд 10
Правила дифференцирования Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
Cлайд 11
Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
Cлайд 12
Cлайд 13
